平行六面体

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平行六面体是指由六个平行四边形所围成的多面体。平行六面体分为斜平行六面体和直平行六面体两种。六个面都是矩形的平行六面体是长方体,六个面都是正方形的是立方体。 [1] 
中文名
平行六面体
外文名
parallelepiped
定    义
底面是平行四边形的棱柱
侧    面
平行四边形
分    类
斜平行六面体和直平行六面体
学    科
数学

平行六面体简述

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平行六面体是底面为平行四边形的棱柱,它是一种特殊的四棱柱,共有六个面,每个面都是平行四边形。
平行六面体的六个面两两平行,并且分别是全等的平行四边形.因此任何相对的两个面都可以作为它的底面。
侧棱和底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,它是特殊的直四棱柱;底面是平行四边形,侧面都是矩形。
底面是矩形的直平行六面体叫做长方体,它的侧面也都是矩形;底面是正方形的长方体叫做正四棱柱,棱长都相等的长方体叫做正方体,它的六个面都是全等的正方形。
一般的平行六面体称为斜平行六面体,斜平行六面体共有四条对角线。 [2] 

平行六面体性质

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1.平行六面体的四条对角线相交于一点且在这点互相平分,并称该点为中心。
2.称侧面对角线的交点为侧面中心,则相对侧面中心的连线也交于平行六面体的中心.且在这一点互相平分。
3.平行六面体所有对角线的平方和等于所有棱的平方和。
4.平行六面体所有侧面对角线的平方和等于其所有(体)对角线平方和的两倍。
5.平行六面体每一侧棱的平方等于与这侧棱共向的两侧面四条面对角线的平方和减去与这侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的四分之一。
6.平行六面体的每一对角线长的平方等于过这条对角线一端点的三条侧面对角线的平方和减去过另一端点的三条棱的平方和。
7.平行六面体的每一对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这二条棱中每两条棱长及其所夹角余弦之积的两倍。
8.平行六面体的每一对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心,且被这三角形截面分成三等分。
9.平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积平方的4倍,等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍。
10.平行六面体的八个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方和等于六个侧面面积的平方和。
11.通过平行六面体中心的任何平面,将平行六面体分成体积相等的两部分。
12.以平行六面体任一顶点及这丁点出发的三条棱的端点构成的四面体的体积是平行六面体体积的六分之一。
13. 以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的三分之一。
14.平行六面体的体积等于底面积与高的乘积,或任一与相对面距离之积。
15.表面积一定的平行六面体中,以正方体之体积最大。
16.在各个侧面面积为定值的平行六面体中,以长方体体积为最大。
17.由平行六面体的各顶点,至不截此体的一平面所引诸垂线段之和,等于由其I对角线之交点至同平面所引垂线段之和的8倍。 [3] 

平行六面体与四面体的关系

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1.对应关系
作四面体的外接平行六面体,且使四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线。此时,四面体与其外接平行六面体是一一对应的。特别地,一个正四面体对应着一个正方体,一个等腰四面体(三对对棱分别相等的四面体)对应着一个长方体,一个两对对棱分别相等的四面体对应着一个直平行六面体,一个对棱均互相垂直的四面体对应着一个菱形六面体等等。
四面体的共一顶点的三棱成为平行六面体的共顶点的三棱时,一个四面体对应着四个外接平行六面体。特别地,一个正四面体对应着一个一顶点面角均为60°的菱形六面体,一个等腰四面体对应着两个一顶点面角之和为180°的平行六面体等等。 [3] 
2.隐显关系
从本世纪初开始,人们试图将三角形的许多性质引申到四面体——最简单的多面体,事实证明发展四面体的几何学比三角形几何学困难得多,有些提法并不复杂的问题解答起来非常费劲,甚至未能解决。 [3] 
参考资料
  • 1.    辞海编辑委员会编.辞海 理科分册 上:上海辞书出版社,1978.09
  • 2.    杨浩清编著.高中数学精讲 立体几何(一年级用):江苏教育出版社,1997.01
  • 3.    沈文选,张垚,冷岗松编著.奥林匹克数学中的几何问题:湖南师范大学出版社,2015.01
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